【三维重建】摄像机几何

来自网友在路上 158858提问提问时间：2023-11-10 17:34:11阅读次数： 58

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针孔相机模型

为了方便我们对针孔相机模型进行数学建模，我们往往对虚拟像平面进行研究，因为虚拟像平面的方向与我们实际物体的方向一致。

通过相似三角形法可以得到三维坐标到二维坐标映射

$P=\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix} \rightarrow {P}'=\begin{bmatrix} x'\\y' \end{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x' = f\frac{{x}}{z} \\ y'=f\frac{{x}}{z} \\ \end{matrix}\right.$

将像平面原点坐标移动到左下角：

$\left ( x,y,z \right ) \rightarrow \left ( f\frac{x}{z} +c_x{},f\frac{y}{z} +c_y{}\right )$

加上现实世界单位（m）到数码图片单位（pixel）的转换量：

$\left ( x,y,z \right ) \rightarrow \left ( fk\frac{x}{z} +c_x{},fl\frac{y}{z} +c_y{}\right )$

至此，完成了相机坐标到像平面坐标的映射：

$P=(x,y,z)\rightarrow P'=(\alpha \frac{x}{z}+c_{x},\beta \frac{y}{z}+c_{y})$

齐次坐标

$P=(x,y,z)\rightarrow P'=(\alpha \frac{x}{z}+c_{x},\beta \frac{y}{z}+c_{y})$

在上面这个公式中，z是会改变的，因此 P到P'并不是线性变换，我们需要引用齐次坐标，使它成为线性变换。

欧式坐标变为齐次坐标就是在最后增加一个维度，并让它的值为1。

$\left ( x,y \right )\rightarrow \begin{bmatrix} x\\ y\\ 1 \end{bmatrix}$ $\left ( x,y,z \right )\rightarrow \begin{bmatrix} x\\ y\\z\\ 1 \end{bmatrix}$