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线性代数第五章特征值与特征向量

来自网友在路上 11008100提问提问时间：2023-11-03 08:35:17阅读次数： 100

最佳答案问答题库1008位专家为你答疑解惑

一、特征值定义

$A\alpha =\lambda \alpha ,a\neq 0$

二、特征值求法

定义法；
$\left | \lambda E-A \right |=0$ ；
相似。

三、特征向量求法

定义法；
基础解系法；
$(\lambda E-A)x=0$ ；
相似。

四、特征值性质

不同特征值的特征向量线性无关
k重特征值至多有k个线性无关的特征向量
$\left | A \right |=\prod \lambda _i,\sum a_{ii}=\sum \lambda _i$

五、相似的定义

若 $P^{-1}AP=B$ ，则A和B相似。

六、相似的性质（必要条件）

$r(A)=r(B)$
$\left | A \right |=\left | B \right |$
$\left | \lambda E-A \right |=\left | \lambda E-B \right |$
$\sum a_{ii}=\sum b_{ii}$

七、可对角化

7.1 充要条件

A有n个线性无关的特征向量
如果λ是k重特征值，那么λ必有k个线性无关的特征向量
$r(\lambda _i E-A)=n-n_i,\lambda _i$ 为 $n_i$ 重特征值

7.2 充分条件

A有n个不同的特征值
A是实对称矩阵

八、实对称矩阵隐含的信息

必与对角矩阵相似
可用正交矩阵对角化，且对角阵上的元素即为特征值
不同特征值的特征向量必正交
特征值必是实数，特征向量必是实向量
k重特征值必有k个线性无关的特征向量（ $r(\lambda E-A)=n-k$ ）
n阶实对称矩阵A有n个特征值的话（含重根），若r(A)<n，则有n-r(A)个零特征值
秩等于非零特征值的个数

$P_1^{-1}AP_1=B,P_2^{-1}BP_2=C\Rightarrow P^{-1}AP=C,P=P_1P_2$

$A$ $kA+E$ $A+kE$ $A^{-1}$ $A^*$ $A^n$ $P^{-1}AP$ $\lambda$ $k\lambda +1$ $\lambda +k$ $\frac{1}{\lambda }$ $\frac{\left | A \right |}{\lambda }$ $\lambda ^n$ $\lambda$ $\alpha$ $\alpha$ $\alpha$ $\alpha$ $\alpha$ $\alpha$ $P^{-1}\alpha$

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