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线性代数 第三章 向量

来自网友在路上 166866提问 提问时间：2023-10-31 06:22:14阅读次数： 66

最佳答案 问答题库668位专家为你答疑解惑

一、运算

加法、数乘、内积

施密特正交化

二、线性表出

概念：如果\beta =k_1\alpha _1+...+k_s\alpha _s，则称\beta可由\alpha _1,...,\alpha _s线性表出（k不要求不全为0）

判定：

  • 非齐次线性方程组x_1\alpha _1+x_2\alpha _2+...+x_s\alpha _s=\beta有解
  • r(\alpha _1,...,\alpha _s)=r(\alpha _1,...,\alpha _s,\beta )
  • \alpha _1,...,\alpha_s无关，\alpha _1,...,\alpha_s,\beta相关

如果两个向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组等价。向量组等价，向量组的秩相等（反过来不成立，秩相等向量组未必等价）。经过初等变换向量组的秩不变。

三、线性相关

概念：若存在不全为0的k_1,...,k_s使k_1\alpha _1+...+k_s\alpha _s=0

充要条件：

  • 齐次线性方程组[\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _s]x=0有非零解
  • r(\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _s)<s
  • 某个\alpha _i可由\alpha _1,...,\alpha _{i-1},\alpha _{i+1},...,\alpha _s线性表出

n个n维向量\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _n线性相关的充分必要条件是行列式\left | \alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _n \right |=0

充分条件：

  • n+1个n维向量
  • 多数向量能用少数向量表示

部分组相关\Rightarrow整体组相关；整体组无关\Rightarrow部分组无关。多数向量能用少数向量线性表出，则多数向量一定线性相关。

四、线性无关

概念：如果k_1\alpha _1+...+k_s\alpha _s=0，则必有k_1=0,...,k_s=0

充要条件：

  • [\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _s]x=0只有零解
  • r(\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _s)=s
  • \forall \ i,\alpha _i不能由其余的向量表示

充分条件：

  • 阶梯型向量组

五、极大线性无关组

在向量组\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _s中，若存在r个向量\alpha _{i1},\alpha _{i2},...,\alpha _{ir}线性相关，再加进任何一个向量\alpha _j(j=1,2,...,s)，向量组\alpha _{i1},\alpha _{i2},...,\alpha _{ir},\alpha _{j}线性相关，则称向量组\alpha _{i1},\alpha _{i2},...,\alpha _{ir}是向量组\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _s的一个极大线性无关组。（小向量组是大向量组的极大线性无关组）

六、向量组的秩

向量组\alpha _1,\alpha _2,...,\alpha _s的极大线性无关组中所含向量的个数r，称为这个向量组的秩。

七、施密特正交化

设向量组\alpha _1,\alpha _2,\alpha _3线性无关，其正交规范化方法步骤如下：

\beta _1=\alpha _1,\\ \beta _2=\alpha _2-\frac{(\alpha _2,\beta _1)}{(\beta _1,\beta _1)}\beta _1,\\ \beta _3=\alpha _3-\frac{(\alpha _3,\beta _1)}{(\beta _1,\beta _1)}\beta _1-\frac{(\alpha _3,\beta _2)}{(\beta _2,\beta _2)}\beta _2,

则\beta _1,\beta _2,\beta _3两两正交。再将\beta _1,\beta _2,\beta _3单位化，取\gamma _1=\frac{\beta _1}{\left | \beta _1 \right |},\gamma _2=\frac{\beta _2}{\left | \beta _2 \right |},\gamma _3=\frac{\beta _3}{\left | \beta _3 \right |},

则\gamma _1,\gamma _2,\gamma _3是正交规范向量组（即两两正交且均是单位向量）。

八、向量空间（仅数学一要求）

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