正态总体的抽样分布

设 $X_1,...,X_n$ 是来自正态总体 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的样本，$\bar{X}$ 为样本均值，$S^{\ast 2}$ 为修正样本方差，则
$$\bar{X}\sim N(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n})$$

$$\frac{(n-1)S^{\ast 2}}{{\sigma }^2}=\frac{n{S}^2}{{\sigma }^2}=\frac{1}{{\sigma }^2}\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2\sim {\chi }^2(n-1)$$

设 $X_1,...,X_n$ 是来自正态总体 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的样本，$\bar{X}$ 为样本均值，$S^{\ast 2}$ 为修正样本方差，则
$$T=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu )}{S^{\ast }}\sim t(n-1)$$

设 $X_1,...,X_{n_1}$ 和 $Y_1,...,Y_{n_2}$ 分别为正态总体 $N({\mu }_1,{\sigma }^2)$ 和 $N({\mu }_2,{\sigma }^2)$ 的样本，且两样本相互独立，则有
$$T=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-({\mu }_1-{\mu }_2)}{S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\sim t(n_1+n_2-2)$$
其中
$$S_w=\sqrt{\frac{(n_1-1)S_{1n_1}^{\ast 2}+(n_2-1)S_{2n_2}^{\ast 2}}{n_1+n_2-2}}$$

设 $X_1,...,X_{n_1}$ 和 $Y_1,...,Y_{n_2}$ 分别为正态总体 $N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$ 和 $N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$ 的样本，且两样本相互独立，$S_{1n_1}^{\ast 2}$ 和 $S_{2n_2}^{\ast 2}$ 分别为两个样本各自的修正方差，则
$$F=\frac{{\sigma }_2^2{S}_{1n_1}^{\ast 2}}{{\sigma }_1^2{S}_{2n_2}^{\ast 2}}\sim F(n_1-1,n_2-1)$$

参考文献

[1] 《应用数理统计》，施雨，西安交通大学出版社。