剑指Offer-剪绳子

题目描述

LCR 131. 砍竹子 I

现需要将一根长为正整数 bamboo_len 的竹子砍为若干段，每段长度均为正整数。请返回每段竹子长度的最大乘积是多少。

示例 1：

输入: bamboo_len = 12
输出: 81

提示：

• 2 <= bamboo_len <= 58

思路

参考了力扣的两位大神的思路。

数学解法

通过数学可证明

设n = n1+n2+n3…n，使得n1 * n2 * n3…*n 最大，有结论： 1. 当n1= n2 = n3 = …n 时乘积最大 2. 当每段n1=3时，乘积最大

证明过程省略

代入此题可知，我们需要将竹子分成n段长度为3的小竹子，但是竹子总长不一定是3的倍数，因此最后一段竹子的长度有以下可能：

• 1：此时最大乘积应该由 pow(3,n) 变成pow(3,n-1)*4，原因是需要将最后一段长度为1的竹子与上一段长度为三的竹子合体，因为2x2 > 3x1
• 2：直接x2，返回pow(3,n-1)*2

另外一种特殊情况则是总长度一开始便不满足3的长度，题目限制了最小为2，因此如果长度为2时，返回1，长度为3时返回2即可。

代码如下

class Solution {
public:int cuttingBamboo(int bamboo_len) {if(bamboo_len <= 3)return bamboo_len-1;int b = bamboo_len%3;int a = bamboo_len/3;if(b == 0)return pow(3,a);if(b == 1)return 4*pow(3,a-1);return 2*pow(3,a);}
};

动态规划

按照动态规划五部曲，有如下操作：

1. 状态方程：dp[i]: 代表长度为i的竹子被分成m段的最大乘积
2. 状态转移：dp[i] = max(dp[i], max(dp[j] * (i-j), j * (i-j)))
3. 遍历：正序遍历，2<= i <=bamboo_len 1<= j <i
4. 初始化：dp[0] = d[1] = 0 , 因为长度0和1都不可以继续划分，或者dp[1]也可以理解为分成长度为1和长度为0的部分，因此dp[1] 也可以=1
5. 最后返回：dp[n]

代码如下

class Solution {
public:int cuttingBamboo(int bamboo_len) {vector<int> dp(bamboo_len+1);dp[1] = 1;for(int i=2;i<=bamboo_len;i++){for(int j=1;j<i;j++){dp[i] =max(dp[i], max(dp[j]*(i-j),j*(i-j)));}}return dp[bamboo_len];}
};