正规方程与梯度下降API及案例预测

1. 正规方程与梯度下降

回归模型是机器学习中用于预测连续数值（实数）的模型，通常用于解决回归问题。两种常见的回归模型求解方法是正规方程和梯度下降。

正规方程（Normal Equation）

正规方程是一种封闭解法，用于直接计算线性回归模型的权重（系数）。

原理：
给定一个线性回归模型的数据集，我们的目标是找到最佳的权重（系数）w，使得模型的预测值尽可能接近实际值。正规方程的原理是通过最小化损失函数来找到最佳权重。对于线性回归问题，损失函数通常是均方误差（Mean Squared Error）：
$$J(w)=\frac{1}{2m}\sum _{i=1}^m(h_w(x^{(i)})-y^{(i)}{)}^2$$

其中，m 是训练样本数量，
$$h_w(x^{(i)})$$
是模型的预测值，
$$y^{(i)}$$
是实际值。

正规方程的目标是找到权重w，使损失函数J(w)最小化。通过求解损失函数的梯度等于零的方程，可以得到权重w的解析解：

$$\nabla J(w)=0$$

这个方程的解即为最佳权重w，从而得到线性回归模型。

优点：

• 正规方程提供了封闭解，不需要手动选择学习率或迭代次数。
• 适用于小型数据集，通常在特征数量较少时表现良好。

缺点：

• 对于大型数据集，计算复杂度高，需要计算特征矩阵的逆，时间复杂度较高。
• 不适用于非线性模型。

梯度下降（Gradient Descent）

梯度下降是一种迭代优化算法，用于调整模型的参数，使损失函数最小化。

原理：
梯度下降的核心思想是通过迭代来更新模型参数，使损失函数逐渐减小。对于线性回归，梯度下降的损失函数是均方误差（Mean Squared Error），目标是最小化这个损失函数。

梯度下降的迭代过程如下：

1. 初始化权重w。
2. 计算损失函数J(w)关于权重$w$的梯度
   $$\nabla J(w)$$
3. 更新权重w，通常按照以下规则更新：
   $$w=w-\alpha \nabla J(w)$$
   ，其中α是学习率，控制每次更新的步长。
4. 重复步骤2和3，直到满足停止条件（例如，达到最大迭代次数或损失函数收敛）。

梯度下降的关键是学习率α的选择，过大的学习率可能导致算法不收敛，过小的学习率可能导致收敛速度慢。

优点：

• 适用于大型数据集和高维特征，计算复杂度较低。
• 可以用于各种不同类型的模型和损失函数，包括非线性模型。

缺点：

• 需要手动选择学习率和迭代次数，选择不当可能导致收敛问题或性能下降。
• 对特征缩放和初始化敏感。

2. API

sklearn.linear_model.LinearRegression(fit_intercept=True)

• 通过正规方程优化
• fit_intercept：是否计算偏置
• LinearRegression.coef_：回归系数
• LinearRegression.intercept_：偏执

sklearn.linear_model.SGDRegressor(loss=“squared_loss”,fit_intercept=True,learning_rate=“invscaling”,eta0=0.01)

• SGDRegressor类实现了随机梯度下降学习，它支持不同的loss函数和正则化惩罚项来拟合线性回归模型
• loss：损失类型
  • loss=“squared_loss”:普通最小二乘法
• fit_intercept：是否计算偏置
• learning_rate:string,optional
  • 学习率填充
  • “constant”:eta=eta0
  • “optimal”:eta=1.0/(alpha*(t+t0))[default]
  • “invscaling”:eta=eta0/pow(t,power_t),power_t存在父类之中
  • 对于一个常数值的学习率来说，可以使用learning_rate=“constant”,并使用eta0来指定学习率
• SGDRegressor.coef_:回归系数
• SGDRegressor.intercept_:偏置

3. 波士顿房价预测

• 实例数量：506，属性数量：13数值型或类别墅，帮助预测的属性
• 属性信息：
  • CRIM城镇人均犯罪率
  • ZN占地面积超过2.5万平方英尺的住宅用地比例
  • INDUS城镇非零售业务地区的比例
  • CHAS查尔斯河虚拟变量（=1，如果土地在河边；否则是0）
  • NOX一氧化氮浓度（每1000万份）
  • RM平均每居民房数
  • AGE在1940年之前建成的所有者占用单位的比例
  • DIS与五个波士顿就业中心的加权距离
  • RAD辐射状公路的可达性指数
  • TAX每10000美元的全额物业税率
  • PTRATIO城镇师生比例
  • B 1000（Bk-0.63）^2其中Bk是城镇中的黑人比例
  • LSTAT人口中地位较低人群的百分数
  • MEDV以1000美元计算的自由住房的中位数
• 缺失属性值：无

流程：

• 获取数据集
• 划分数据集
• 特征工程：无量纲化处理–标准化
• 预估器流程，fit()–>模型：coef_,intercept_
• 模型评估

from sklearn.datasets import load_boston
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.linear_model import LinearRegressiondef linear_demo():"""正规方程的方法对波士顿房价进行预测:return:"""# 1. 获取数据boston = load_boston()# 2. 划分数据集x_train, x_test, y_train,y_test = train_test_split(boston.data, boston.target, random_state= 22)# 3. 标准化transfer = StandardScaler()x_train = transfer.fit_transform(x_train)x_test = transfer.transform(x_test)# 4. 预估器estimator = LinearRegression()estimator.fit(x_train, y_train)# 5. 得出模型print("权重系数为：\n", estimator.coef_)print("偏置为：\n", estimator.intercept_)# 6. 模型评估y_predict = estimator.predict(x_test)print("y_predict:\n", y_predict)print("直接对比真实值和预测值：\n", y_test == y_predict)score = estimator.score(x_test, y_test)print("准确率为：\n", score)

from sklearn.datasets import load_boston
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.linear_model import SGDRegressordef linear_demo():"""梯度下降的方法对波士顿房价进行预测:return:"""# 1. 获取数据boston = load_boston()# 2. 划分数据集x_train, x_test, y_train,y_test = train_test_split(boston.data, boston.target, random_state= 22)# 3. 标准化transfer = StandardScaler()x_train = transfer.fit_transform(x_train)x_test = transfer.transform(x_test)# 4. 预估器estimator = SGDRegressor()estimator.fit(x_train, y_train)# 5. 得出模型print("权重系数为：\n", estimator.coef_)print("偏置为：\n", estimator.intercept_)# 6. 模型评估y_predict = estimator.predict(x_test)print("y_predict:\n", y_predict)print("直接对比真实值和预测值：\n", y_test == y_predict)score = estimator.score(x_test, y_test)print("准确率为：\n", score)