1 二叉树的顺序存储

1.1 存储方式

使用数组保存二叉树结构，方式即将二叉树用层序遍历方式放入数组中。
一般只适合表示完全二叉树，因为非完全二叉树会有空间的浪费。
这种方式的主要用法就是堆的表示。

1.2 下标关系

1. 已知双亲(parent)的下标，则：

左孩子(left)下标 = 2 * parent + 1;
右孩子(right)下标 = 2 * parent + 2。

2. 已知孩子(不区分左右)(child)下标，则：

双亲(parent)下标 = (child - 1) / 2

2 堆(heap)

2.1 概念

1. 堆逻辑上是一棵完全二叉树；
2. 堆物理上是保存在数组中；
3. 满足任意结点的值都大于其子树中结点的值，叫做大堆，或者大根堆，或者最大堆；
4. 反之，则是小堆，或者小根堆，或者最小堆；
5. 堆的基本作用是，快速找集合中的最值。

2.2 操作-向下调整

前提： 左右子树必须已经是一个堆，才能调整。
说明：

1. array 代表存储堆的数组；
2. size 代表数组中被视为堆数据的个数；
3. index 代表要调整位置的下标；
4. left 代表 index 左孩子下标；
5. right 代表 index 右孩子下标；
6. min 代表 index 的最小值孩子的下标；

过程（以小堆为例）：

1. index 如果已经是叶子结点，则整个调整过程结束。
   （1）判断 index 位置有没有孩子；
   （2）因为堆是完全二叉树，没有左孩子就一定没有右孩子，所以判断是否有左孩子；
   （3）因为堆的存储结构是数组，所以判断是否有左孩子即判断左孩子下标是否越界，即 left >= size 越界。
2. 确定 left 或 right，谁是 index 的最小孩子 min。
   （1）如果右孩子不存在，则 min = left；
   （2）否则，比较 array[left] 和 array[right] 值得大小，选择小的为 min。
3. 比较 array[index] 的值 和 array[min] 的值，如果 array[index] <= array[min]，则满足堆的性质，调整结束。
4. 否则，交换 array[index] 和 array[min] 的值。
5. 然后因为 min 位置的堆的性质可能被破坏，所以把 min 视作 index，向下重复以上过程。

图示：

// 调整前
int[ ] array = { 27,15,19,18,28,34,65,49,25,37 };
// 调整后
int[ ] array = { 15,18,19,25,28,34,65,49,27,37 };

时间复杂度分析：
最坏的情况即图示的情况，从根一路比较到叶子，比较的次数为完全二叉树的高度，即时间复杂度为 O(log2(n))。
代码：

public static void shiftDown(int[] array, int size, int index) {int left = 2 * index + 1;while (left < size) {int min = left;int right = 2 * index + 2;if (right < size) {if (array[right] < array[left]) {min = right;}}if (array[index] <= array[min]) {break;}int t = array[index];array[index] = array[min];array[min] = t;index = min;left = 2 * index + 1;}
}

2.3 操作-建堆

下面我们给出一个数组，这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树，但是还不是一个堆，现在我们通过算法，把它构建成一个堆。
根节点左右子树不是堆，我们怎么调整呢？这里我们从倒数的第一个非叶子节点的子树开始调整，一直调整到根节点的树，就可以调整成堆。
图示（以大堆为例）：

// 建堆前
int[ ] array = { 1,5,3,8,7,6 };
// 建堆后
int[ ] array = { 8,7,6,5,1,3 };

时间复杂度分析：
粗略估算，可以认为是在循环中执行向下调整，为 O(n * log2(n))；了解后实际上是 O(n)。
以大堆为例的代码如下所示：
HeapDemo.java

public class HeapDemo {public int[] elem;public int usedSize;public HeapDemo(){this.elem = new int[10];}/** 在这里 为什么可以传len* 是因为每棵树的结束位置 实际上都是一样的** 假设长度为10，len就是10* */public void adjustDown(int parent,int len){int child = 2*parent+1;//child < len 说明有左孩子while(child < len){//child+1 < len 判断当前是否有右孩子if(child+1 < len && this.elem[child] < this.elem[child+1]){child++;}//child下标一定是左右孩子的最大值下标if(this.elem[child] > this.elem[parent]){int tmp = this.elem[child];this.elem[child] = this.elem[parent];this.elem[parent] = tmp;parent = child;child = 2*parent+1;}else{//因为是从最后一棵树开始调整的，只要我们找到了这个//this.elem[child] <= this.elem[parent]//说明后续就不需要循环了，后面的都是大根堆了break;}}}public void creatBigHeap(int[] array){for (int i = 0; i < array.length; i++) {this.elem[i] = array[i];this.usedSize++;}//elem当中已经存放了元素for(int i = (this.usedSize-1-1) / 2;i >= 0;i--){adjustDown(i,this.usedSize);}}public void show(){for (int i = 0; i < this.usedSize; i++) {System.out.print(this.elem[i] +" ");}System.out.println();}
}

TestDemo.java

import java.util.*;
public class TestDemo {public static void main(String[] args) {HeapDemo heapDemo = new HeapDemo();int[] array = { 27,15,19,18,28,34,65,49,25,37 };System.out.println(Arrays.toString(array));heapDemo.creatBigHeap(array);heapDemo.show();}}

运行结果如下图所示：

3 堆的应用-优先级队列

3.1 概念

在很多应用中，我们通常需要按照优先级情况对待处理对象进行处理，比如首先处理优先级最高的对象，然后处理次高的对象。最简单的一个例子就是，在手机上玩游戏的时候，如果有来电，那么系统应该优先处理打进来的电话。
在这种情况下，我们的数据结构应该提供两个最基本的操作，一个是返回最高优先级对象，一个是添加新的对象。这种数据结构就是优先级队列(Priority Queue)。

3.2 内部原理

优先级队列的实现方式有很多，但最常见的是使用堆来构建。

3.3 操作-入队列(向上调整)

过程（以大堆为例）：

1. 首先按尾插方式放入数组;
2. 比较其和其双亲的值的大小，如果双亲的值大，则满足堆的性质，插入结束;
3. 否则，交换其和双亲位置的值，重新进行 2、3 步骤;
4. 直到根结点。

图示：

代码：
HeapDemo.java

import java.util.Arrays;
public class HeapDemo {public int[] elem;public int usedSize;public HeapDemo(){this.elem = new int[10];}public void creatBigHeap(int[] array){for (int i = 0; i < array.length; i++) {this.elem[i] = array[i];this.usedSize++;}//elem当中已经存放了元素for(int i = (this.usedSize-1-1) / 2;i >= 0;i--){adjustDown(i,this.usedSize);}}public void push(int val){if(isFull()){this.elem = Arrays.copyOf(this.elem,2*this.elem.length);}this.elem[this.usedSize] = val;this.usedSize++;adjustUp(this.usedSize-1);}public void adjustUp(int child){int parent = (child-1)/2;while(child > 0){if(this.elem[child] > this.elem[parent]){int tmp = this.elem[child];this.elem[child] = this.elem[parent];this.elem[parent] = tmp;child = parent;parent = (child-1)/2;}else{break;}}}public boolean isFull(){return this.usedSize == this.elem.length;}public void show(){for (int i = 0; i < this.usedSize; i++) {System.out.print(this.elem[i] +" ");}System.out.println();}
}

TestDemo.java

import java.util.*;
public class TestDemo {public static void main(String[] args) {HeapDemo heapDemo = new HeapDemo();int[] array = { 27,15,19,18,28,34,65,49,25,37 };System.out.println(Arrays.toString(array));heapDemo.creatBigHeap(array);heapDemo.show();heapDemo.push(100);heapDemo.show();
}}

3.4 操作-出队列(优先级最高）

为了防止破坏堆的结构，删除时并不是直接将堆顶元素删除，而是用数组的最后一个元素替换堆顶元素，然后通过向下调整方式重新调整成堆。
图示：

代码：
HeapDemo.java

import java.util.Arrays;
public class HeapDemo {public int[] elem;public int usedSize;public HeapDemo(){this.elem = new int[10];}public void creatBigHeap(int[] array){for (int i = 0; i < array.length; i++) {this.elem[i] = array[i];this.usedSize++;}//elem当中已经存放了元素for(int i = (this.usedSize-1-1) / 2;i >= 0;i--){adjustDown(i,this.usedSize);}}public int poll(){if(isEmpty()){throw new RuntimeException("队列为空！");}int ret = this.elem[0];//删除int tmp = this.elem[0];this.elem[0] = this.elem[this.usedSize-1];this.elem[this.usedSize-1] = tmp;this.usedSize--;adjustDown(0,this.usedSize);return ret;}public boolean isEmpty(){return this.usedSize == 0;}   public void show(){for (int i = 0; i < this.usedSize; i++) {System.out.print(this.elem[i] +" ");}System.out.println();}
}

TestDemo.java

import java.util.*;
public class TestDemo {public static void main(String[] args) {HeapDemo heapDemo = new HeapDemo();int[] array = { 27,15,19,18,28,34,65,49,25,37 };System.out.println(Arrays.toString(array));heapDemo.creatBigHeap(array);heapDemo.show();System.out.println(heapDemo.poll());heapDemo.show();
}}

3.5 返回队首元素(优先级最高)

返回堆顶元素即可。
代码：

import java.util.Arrays;
public class HeapDemo {public int[] elem;public int usedSize;public HeapDemo(){this.elem = new int[10];}public void creatBigHeap(int[] array){for (int i = 0; i < array.length; i++) {this.elem[i] = array[i];this.usedSize++;}//elem当中已经存放了元素for(int i = (this.usedSize-1-1) / 2;i >= 0;i--){adjustDown(i,this.usedSize);}}public int peek(){if(isEmpty()){throw new RuntimeException("队列为空！");}return this.elem[0];}public boolean isEmpty(){return this.usedSize == 0;}public void show(){for (int i = 0; i < this.usedSize; i++) {System.out.print(this.elem[i] +" ");}System.out.println();}
}

3.6 java 中的优先级队列

PriorityQueue implements Queue
PriorityQueue的使用方法：

操作错误处理-抛出异常返回特殊值入队列add(e)offer(e)出队列remove()poll()队首元素element()peek(）

使用PriorityQueue的代码示例如下所示：

import java.util.*;
public class TestDemo {public static void main(String[] args) {/** PriorityQueue 优先级队列 底层是由堆来实现的* PriorityQueue 底层默认是一个小根堆* 每次存元素的时候 一定要保证 数据进入堆中后 依然可以维持为一个小堆/大堆* 每次取出一个元素的时候 一定要保证 剩下的元素 也要调整为一个小堆/大堆* */PriorityQueue<Integer> qu = new PriorityQueue<>();qu.offer(3);qu.offer(1);qu.offer(4);qu.offer(2);qu.offer(5);System.out.println(qu.poll());//1System.out.println(qu.poll());//2System.out.println(qu.poll());//3//默认是小堆，我就要一个大堆呢？/** 我们之前学过自定义比较器* */PriorityQueue<Integer> qu1 = new PriorityQueue<>(new Comparator<Integer>() {@Overridepublic int compare(Integer o1, Integer o2) {//o2 > o1 o1小于o2return o2-o1;}});qu1.offer(3);qu1.offer(1);qu1.offer(4);qu1.offer(2);qu1.offer(5);System.out.println(qu1.poll());//5System.out.println(qu1.poll());//4System.out.println(qu1.poll());//3
}}

PriorityQueue的扩容方式：

int newCapacity = oldCapacity + ((oldCapacity < 64) ?(oldCapacity + 2) :oldCapacity >> 1));

3.7 堆的常见用途

堆有两个常见的用途：

1. topK(求前K个最大/最小的元素)。
2. 堆排序。

3.7.1 topK问题

关键记得：

1. 找前 K 个最大的元素，要建 K 个大小的小堆；
2. 找前 K 个最小的元素，要建 K 个大小的大堆；
3. 找第K小的元素，要建立大小为K的大堆，等数组遍历完成后，堆顶元素就是第K小的元素。

时间复杂度为：O（nlog2(K))
找前K个最大的元素代码如下所示：

import java.util.*;
public class TestDemo {/** 找前K个最大的元素* */public static void topK(int[] array,int k){//1、大小为K的小堆PriorityQueue<Integer> minHeap = new PriorityQueue<>(k, new Comparator<Integer>() {@Overridepublic int compare(Integer o1, Integer o2) {return o1-o2;}});//2、遍历数组for (int i = 0; i < array.length; i++) {if (minHeap.size() < k){minHeap.offer(array[i]);}else{int top = minHeap.peek();if(array[i] > top){minHeap.poll();minHeap.offer(array[i]);}}}for (int i = 0; i < k ; i++) {System.out.println(minHeap.poll());}}public static void main(String[] args) {int[] array = { 27,15,19,18,28,34,65,49,25,37 };topK(array,3);}}

3.7.2 堆排序

关键记得： 从小到大排序，应该建一个大堆。
从小到大排序的代码如下所示：
HeapDemo.java

import java.util.Arrays;
public class HeapDemo {public int[] elem;public int usedSize;public HeapDemo(){this.elem = new int[10];}/** 在这里 为什么可以传len* 是因为每棵树的结束位置 实际上都是一样的** 假设长度为10，len就是10* */public void adjustDown(int parent,int len){int child = 2*parent+1;//child < len 说明有左孩子while(child < len){//child+1 < len 判断当前是否有右孩子if(child+1 < len && this.elem[child] < this.elem[child+1]){child++;}//child下标一定是左右孩子的最大值下标if(this.elem[child] > this.elem[parent]){int tmp = this.elem[child];this.elem[child] = this.elem[parent];this.elem[parent] = tmp;parent = child;child = 2*parent+1;}else{//因为是从最后一棵树开始调整的，只要我们找到了这个//this.elem[child] <= this.elem[parent]//说明后续就不需要循环了，后面的都是大根堆了break;}}}public void creatBigHeap(int[] array){for (int i = 0; i < array.length; i++) {this.elem[i] = array[i];this.usedSize++;}//elem当中已经存放了元素for(int i = (this.usedSize-1-1) / 2;i >= 0;i--){adjustDown(i,this.usedSize);}}public void show(){for (int i = 0; i < this.usedSize; i++) {System.out.print(this.elem[i] +" ");}System.out.println();}//排序public void heapSort(){int end = this.usedSize-1;while(end > 0){int tmp = this.elem[0];this.elem[0] = this.elem[end];this.elem[end] = tmp;adjustDown(0,end);end--;}}
}

TestDemo.java

import java.util.*;
public class TestDemo {public static void main(String[] args) {HeapDemo heapDemo = new HeapDemo();int[] array = { 27,15,19,18,28,34,65,49,25,37 };System.out.println(Arrays.toString(array));heapDemo.creatBigHeap(array);heapDemo.show();heapDemo.heapSort();heapDemo.show();}}

将上面代码改装成数组也是一样的，具体代码如下所示：

import java.util.*;
public class TestDemo {//改装成数组也是一样的public static void adjustDown2(int[] array,int parent,int len){int child = 2*parent+1;while(child < len){if(child+1 < len && array[child] < array[child+1]){child++;}if(array[child] > array[parent]){int tmp = array[child];array[child] = array[parent];array[parent] = tmp;parent = child;child = 2*parent+1;}else{break;}}}public static void creatBigHeap2(int[] array){for(int i = (array.length-1-1) / 2;i >= 0;i--){adjustDown2(array,i,array.length);}}/** 时间复杂度：不管是最好，或是最坏，均为O(nlog2(n))* 空间复杂度：O(1)* */public static void heapSort2(int[] array){creatBigHeap2(array);int end = array.length-1;while(end > 0){int tmp = array[0];array[0] = array[end];array[end] = tmp;adjustDown2(array,0,end);end--;}}public static void main(String[] args) {int[] array = { 27,15,19,18,28,34,65,49,25,37 };heapSort2(array);System.out.println(Arrays.toString(array));}}

所以，对于堆排序来说：
时间复杂度： 不管是最好，或是最坏，均为O(nlog2(n))。
空间复杂度： O(1)。