高等数学下册曲线与曲面积分，格林公式例6:

验证：在整个xOy平面内，$x{y}^{2}dx+x^{2}ydy是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数。$

解：
$$P=x{y}^2,Q=x^{2}y,并且\frac{\partial P}{\partial y}=2xy=\frac{\partial Q}{\partial x}在整个xOy平面内成立$$

取积分曲线为$$\begin{gathered} {\int }_{0,0}^{x,y}x{y}^{2}dx+x^{2}ydy={\int }_{0,0}^{x,0}{x}^{y}dx+x^{2}ydy+{\int }_{x,0}^{x,y}x{y}^{2}dx+x^{2}ydy \\ =0+{\int }_0^y{x}^{2}ydy=\frac{x^2{y}^2}{2} \end{gathered}$$

注意：
从(0,0)到(x,0)这一段积分为0，这很容易看出来。但是从(x,0)到(x,y)这一段，x的值不变，对x积分时，dx为0，故积分值为0。

容易犯错的原因是先对x积分，再带入(x,y)和(x,0)，计算结果不是0。因为x不变，所以这里不能积分，只能得到积分式为0。