环

环：设$R\ne \oslash$，若$R$上定义了2中代数运算：

• 加法，记作$a+b$
• 乘法，记作$ab$
  满足如下关系：
  1、关于加法构成交换群，群单位元记作0，称为零元。
  2、关于乘法满足结合律；
  3、乘法对于加法满足分配律，即$\forall a,b,c\in R$，$a(b+c)=ab+ac;(b+c)a=ba+bc$，则称R为环，称0为零元。
  注：在环R中，$a0=0a=0$。

零环：设$(G,+)$是交换群，G上定义乘法如下：$\forall g,h\in G$，$g\cdot h:=0$，则G构成环，称为零环。

子环：设$R$是环，$\oslash \ne R_1\subset R$。若$R_1$对$R$的运算构成环，则称为$R$的子环
例如：在整数环$\mathbb{Z}$中，$n\mathbb{Z}$为$\mathbb{Z}$的子环

定理：设R是环，$R_1$是$R$的非空子集。则$R_1$是子环的充分必要条件是：
1、$\forall a,b\in R_1,a-b\in R_1$. (加法子群)
2、$\forall a,b\in R_1,a\cdot b\in R_1$. （乘法封闭）

环同构：设$R.R^{\prime }$为环。若存在$R$到$R^{\prime }$的双射$\sigma$满足：
1、$\sigma (a+b)=\sigma (a)+\sigma (b)$
2、$\sigma (ab)=\sigma (a)\sigma (b)$
则称$\sigma$为同构，记作$R\cong R^{\prime }$

环的简单性质：设$(R,+,\times )$为环

• 由于$(R,+)$是交换群，对于任意的$a\in R$,$na$有意义($n\in \mathbb{Z}$);
• 由于环中乘法满足结合律，幂运算有意义，即$a^n$有意义。

此时由交换律和环满足的结合律可知：

• $n(a+b)=na+nb$
• $(n+m)a=na+ma$
• $n(ma)=(nm)a$
• $a(-b)=(-a)b=-ab$
• $(-a)(-b)=ab$

域：域是特殊的环
定义：设P是至少包含2个元素的环。若P中乘法另外还满足：
1、有单位元
2、非零元存在逆元
3、乘法满足交换律 (重要)
则称P是域。

域的性质：环所有的性质，域都满足，此外，域还具有自己的性质：
1、若$a\ne 0,b\ne 0$,则$ab\ne 0$。
2、域有消去律。即设$a\ne 0，ab=ac$，则$b=c$.