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• 旋转对称相关内容

旋转对称图形

• 一般地,如果一个平面图形绕定点旋转$\theta$角后与旋转前图形自身重合,则这个图形称为"$\theta$角旋转对称图形"
• 例如
  • 任意正三角形是$\frac{1}{3}\times 2\pi$角的旋转对称图形
  • 任意一个正方形都是$\frac{\pi }{2}$角的旋转对称图形;
  • …
• 一般地,任意正$n$边形是$\frac{1}{n}\times 2\pi$角的旋转对称图形
  • 可以从正$n$边形的中心向各个顶点连线,可以观察到$n$条线将$2\pi$角均分为$n$份,因此旋转$k\times \frac{2\pi }{2}$,$(k\in \mathbb{Z})$后图形上的顶点和旋转前的重合,整个正$n$边形图形也就重合

旋转变换分解

• 设直线$l_1,l_2$相较于$O$,夹角$<l_1,l_2>=\theta$则关于$l_1,l_2$连续作轴对称变换,等效于绕点$O$作$2\theta$角的一个旋转变换
• 即,任意旋转变换都可以分解为两个轴对称变换的乘积
• 证明:
  • 从几何上容易证明,设$P$关于$l_1$的对称点为$Q$,$Q$关于$l_2$的对称点为$R$;记$<l_1,l_2>=\theta$
  • 情况1:$Q$落在$\theta$内部,令$\angle l_{1}OQ=x$,$\angle QO{l}_2=y$,则$\theta =x+y$
    • 而$\angle POR$=$2x+2y$=$2(x+y)$=$2\theta$
  • 情况2:$Q$落在$\theta$外,也可得到相同结论

例

• 例如:$\alpha ,\frac{\pi }{2}+\alpha$的旋转变换分解为二次对称变换
  • 角$\alpha +\frac{\pi }{2}$可通过$\alpha$关于$y=x$对称,再关于$y$轴对称得到
  • $\alpha$角终边上的点$P(\cos \alpha ,\sin \alpha )$关于$y=x$对称得到点$Q(\sin \alpha ,\cos \alpha )$,$Q$关于$y$轴对称得到$R(-\sin \alpha ,\cos \alpha )$,$R$在$\alpha +\frac{\pi }{2}$的终边上,从而$R(\cos (\alpha +\frac{\pi }{2}),\sin (\alpha +\frac{\pi }{2}))$
  • 所以:
    • $\cos (\alpha +\frac{\pi }{2})$=$-\sin \alpha$
    • $\sin (\alpha +\frac{\pi }{2})$=$\cos \alpha$;

坐标旋转变换

• 一般地,平面上任意点$P(a,b)$绕原点$O$旋转$\frac{\pi }{2}$后到达点$R$,设点$R$地坐标为$(x,y)$,则由上述关系:$x=-b$;$y=a$

• 如果点$P(x,y)$与原点的距离保持不变绕原点旋转$\theta$角到$P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$,则$x=r\cos \alpha$;$y=r\sin \alpha$

  • $x^{\prime }$=$r\cos (\alpha +\theta )$=$x\cos \theta -y\sin \theta$

  • $y^{\prime }$=$r\sin (\alpha +\theta )$=$x\sin \theta +y\cos \theta$